3.1.Общие сведения о системе тел
Строительные конструкции состоят, как правило, из нескольких тел, соединенных между собой связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, называются внутренними связями, а связи, соединяющие данную конструкцию с телами, не входящими в эту систему – внешними связями. Реакции внутренних связей попарно равны, направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому алгебраическая сумма проекций внутренних сил на любую ось равна нулю так же, как равна нулю сумма моментов этих сил относительно любого центра.
Важной задачей статики системы твердых тел является определение реакций связей.
Если после отбрасывания внешних связей конструкция остается жесткой (неизменяемой), то для нее задачи статики решаются также как и для абсолютно твердого тела. К таким конструкциям в частности относится ферма (рис. 3.1а), двухшарнирная арка (3.1б) и др.
Рис. 3.1
Вместе с тем в инженерной практике встречаются такие конструкции, которые после отбрасывания связей не остаются жесткими. Примером таких конструкций являются трехшарнирные арки (рис.3.2а), шарнирные рамные системы (рис.3.2б), составные балки (рис.3.2в) и др.
Если у трехшарнирной арки отбросить опоры А и В, то арка станет нежесткой, так как ее части смогут поворачиваться вокруг шарнира С.
Рис.3.2
Согласно аксиоме отвердевания, равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием приложенных к нему сил не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твердым, и к нему можно применять уравнения равновесия абсолютно твердого тела.
Однако эти уравнения при определении внешних реакций изменяемой системы тел, будучи необходимыми, не являются достаточными. Как известно, для абсолютно твердого тела можно составить только три независимых уравнения равновесия, а для изменяемой системы тел необходимо дополнительно составить столько уравнений, сколько в системе содержится тел. Например, для трехшарнирной рамы (рис. 3.2б) можно составить три уравнения равновесия, а число неизвестных связей – четыре. Для нахождения внешних опорных реакций связи необходимо составить три уравнения для всей рамы, а, затем, расчленить раму в шарнире С и составить еще три уравнения равновесия для правой (или левой) части рамы. Эти уравнения будут содержать неизвестные внутренние реакции связи xС, yС. Решая полученную систему из шести уравнений с шестью неизвестными, получим все шесть неизвестных реакций.
3.2. Методические указания к решению задач по исследованию условий равновесия системы тел, находящихся под действием произвольной плоской системы сил
При решении таких задач чаще всего сразу расчленяют систему и рассматривают равновесие каждого из тел в отдельности. При этом надо учитывать аксиому о равенстве действия и противодействия, согласно которой силы взаимодействия двух тел равны между собой по абсолютной величине, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.
При расчленении систем следует руководствоваться правилом, чтобы в месте расчленения появлялось не более двух неизвестных реакций связей.
Расчленяют систему в следующих соединениях (рис. 3.3):
Рис. 3.3
Порядок решения задач
1. Выделить одно тело системы, равновесие которого следует рассмотреть.
2. Приложить к выделенному телу все активные (заданные) силы. Если к телу приложена распределенная нагрузка, то ее необходимо заменить равнодействующей.
3. Освободить тело от связей, приложив соответствующие реакции. При этом необходимо убедиться, что данная задача является статически определимой.
4. Направить оси координат и выбрать моментные точки. Для каждого тела системы могут быть выбраны различные системы координат.
5. Составить уравнения равновесия произвольной плоской системы сил для выделенного тела.
Составляем уравнения равновесия по вышеизложенной схеме для каждого тела рассматриваемой системы. Все полученные уравнения равновесия решаем совместно, определяя неизвестные реакции связей.
Если в результате решения искомая реакция получается положительной, то это значит, что ее направление выбрано верно, если отрицательной, то истинное направление реакции противоположно выбранному (модуль же реакции определен верно).
После того, как задача решена, необходимо произвести проверку правильности решения. Для этого следует составить не применявшуюся при решении сумму моментов, при этом необходимо учитывать истинные направления реакций. Равенство нулю алгебраической суммы моментов подтвердит правильность решения задачи.
При решении подобных задач можно применять и другой прием. Можно рассмотреть условия равновесия для всей конструкции в целом (как для одного абсолютно твердого тела), а затем к этим трем уравнениям присоединить три уравнения равновесия, составленные только для одного из двух тел данной системы. Этот прием нередко предпочтительнее, так как в уравнения равновесия, составленные для всей системы в целом, входят только внешние силы и поэтому эти уравнения оказываются, обычно, проще.
Пример. Определить внешние (опорные) и внутренние связи рамы, изображенной на рис. 3.4, при следующих исходных данных: q=2кН/м, P=4кН.
Рис. 3.4
Решение.
Составим уравнение равновесия для всей конструкции:
Уравнения равновесия для правой части рамы:
Решая совместно уравнения (3) и (6), получим:
Подставляя найденные значения XВ и YB в уравнения (1) и (2) определим реакции опоры А:
Из уравнений (4) и (5) определим реакции внутренних связей:
Сделаем проверку, составив уравнение моментов для всей конструкции относительно точки В:
Подставляя численные значения, получаем:
Ответ:
Поскольку силы XC и YC – внутренние, то знак силы определяется в зависимости от того, для какой части конструкции рассматривается равновесие.
В том случае, когда части конструкции опираются друг на друга, или когда одна из опор является гладкой поверхностью, целесообразно сразу расчленять систему на отдельные тела и составлять уравнения равновесия для каждого тела в отдельности (см. рис.3.5). При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению.
Для расчета составной конструкции (рис. 3.5) следует сразу расчленить конструкцию и рассмотреть равновесие балки DЕ. Уравнение равновесия балки DЕ будет содержать только три неизвестные реакции ХD, YD, NE. Определив внутреннюю реакцию связи NE, нетрудно найти внешние реакции связи балки АВ: XА, YА, NВ.
Пример. Однородная балка АВ весом Р2= 2 кН и длиной 6 м удерживается в горизонтальной плоскости с помощью неподвижной шарнирной опоры и гладкой опоры.
На балку АВ свободно опирается однородная балка DЕ весом Р1=1,5 кН и длиной 6 м. К балке DE приложена сила F=1 кН.
Определить опорные реакции и силу взаимодействия балок AB и DE (рис. 3.5).
Рис. 3.5
Решение. Заданную конструкцию расчленим на систему тел (рис.3.6) и рассмотрим равновесие сначала балки DЕ, а затем балки АВ.
Рис. 3.6
Уравнения равновесия балки DЕ:
Уравнения равновесия балки АВ:
Из уравнения (1): 
Из уравнения (3): 
Из уравнения (6): 
Ответ: XD = 0,5кН, YD = 0,85кН, XA = 1,35кН, YA = 1,21кН, NB=2,67 кН.
Проверка: Составим уравнение моментов относительно точки D для всей конструкции:
Проверка сошлась.